נולד לאביו רבי סנדר 'הקטן' מטירוביצה. משפחתו; סבו רבי צבי טירוביצר, אביו רבי סנדר, דודיו רבי נתן טירוביצר ורבי ישראל אריה – עלו ארצה מטירוביצה שבאוקראינה, והתיישבו בעיר הקודש צפת.

רבי נתן ב"ר יהודה תלמיד מוהרנ"ת, שעלה אף הוא לארץ ישראל והתיישב בעיר הקודש טבריה, שמר איתם על קשר מכתבים הדוק. כל העת דרש בשלומם, השתתף בשמחתם כמו חלילה בצערם, וחיזק אותם בדיבורים בוערים כגחלי אש בגדולת רבינו הקדוש וכוחו הנצחי.

בשנת תרמ"א השתדך רבי אברהם אליעזר עם בתו של הנגיד ר' חיים יהושע רייכמן מטבריה, שהיה בעל חסד מופלג, ומידידי רבי נתן ב"ר יהודה. במכתביו לרבי נתן טירוביצר, כותב רבי נתן מטבריה באותה עת, לפרוס בשלום "אחיך היקר אוהב נפשי המופלא ומופלג, איש חסיד, כש"ת מו"ה סענדיר, עם שלום בנו החתן החכם המושלם כמר אברהם אליעזר, אשר מים רבים לא יוכלו לכבות את האהבה, כי אנו נקשרים בהאילן אשר יש לו שלשה שרשים…"

לקראת ראש השנה של אותה שנה יצא רבי נתן מטבריה לאומן דרך רומניה. גם בהיותו מטולטל בדרכים לא שכח את אוהבי נפשו. במכתבו מהעיר טייטרא, מפרשת בהעלותך תרמ"א, הוא מספר להם את קורותיו בנסיעה ומוסיף בקשה: "לכתוב לי מהחתונה של בן אחיך מו"ה אברהם אליעזר נ"י". לכבוד החתונה, כתב לחתן כי "הוא צריך להתחיל מחדש לשקוד על דלתות ספרי רבינו ז"ל ותלמידו הקדוש, ולילך בדרכי רבינו ז"ל בתורה ותפילה ושיחה בינו לבין קונו הרבה". גם למחותן כתב: "ולכבוד הנגיד המפורסים מו"ה ר' חיים יהושע עם שלום זוגתו, ומזל-טוב יהיה להם, שיהיה בשעה מוצלחת, שיהיה לאורך ימים ושנים טובות, ושיזכו לראות מבניהם, בנים ובני בנים, עוסקים בתורה ומצוות, מרוב עושר וכבוד".

גם רבי נחמן מטולטשין כתב דברי ברכה לחתן: "ורב שלום וכל טוב לידידי כנפשי האברך המופלא ומופלג וכו' החתן היקר מו"ה אליעזר נ"י. יהיה ה' יתברך בעזרו שיכנס לחופה למזל-טוב וברוב נחת עד עולם, אמן כן יהי רצון".

מלבד היותו מתמיד ועובד ה' מופלג, התברך רבי אברהם אליעזר ביחוס-אבות. מצד אביו היה נכד רבי צבי ראב"ד קהילת טירוביצה, ומצד אמו היה מצאצאי רבי דוד צבי אוירבך חותן מוהרנ"ת.

בשנת תרס"ה, הדפיס רבי אברהם אליעזר את הספר 'גדולת דוד' ובו שלשלת היוחסין ותולדות חייו של זקנו רבי דוד צבי. בסוף הספר הוא מספר על אוצר כתבי יד הנמצא ברשותו, עם חידושים נפלאים על הש"ס תנ"ך, הלכה ואגדה, אשר "מרועה אחד ניתנו, מאדוני אבי זקני הרב הגאון וכו' כבוד קדושת שם תפארתו, מורנו ורבינו הרב ר' דוד צבי זצוק"ל". ברם, חידושים אלו אבדו בצוק העתים.

רבי אברהם אליעזר נפטר בשנות הארבעים לחייו, בכ"ג באיר תרס"ו. זוגתו מרת חוה ע"ה העידה לאחר פטירתו, כי בכל לילה היה קם בחצות ועוסק בתורה ובעבודת ה' עד חצות היום. רק אז היה הולך אל החנות שהיתה להם, שם ישב שעתיים בלבד.

רבי אברהם אליעזר נטמן סמוך לציון הרידב"ז מגדולי רבני צפת. מאוחר יותר נטמנו בקרבתו, דודו רבי נתן מטירוביצה, זוגתו ועוד בני משפחה.