נולד בקרימנצ'וק שבאוקראינה לאביו רבי מרדכי–מאָטיע קנלסקי, ולאמו שהיתה נכדת רבי שמע'לה משמשו של רבינו הקדוש. ר' בן-ציון נולד אל תוך תקופת הקומוניזם שאסר לימוד תורה וקיום מצוות, אך אביו החדיר בו ובאחיו ר' נחמן (רוסישער) אהבת תורה ויראת שמים שנשרשו בקרבם לכל חייהם. הוא שכר עבורם מלמד שהיה מגיע בסתר לביתם ללמדם תורה, חרף ה"איסור".

ילד בן תשע היה ר' בן-ציון כשנפטר לפתע אביו ר' מאטיע בגיל ארבעים. הוא ואחיו ואחותו, שנישאה לימים לחסיד רבי נפתלי דובינסקי, נותרו יתומים, ואמם הצדקת שהתמסרה עבור חינוכם היהודי, עברה עמם להתגורר באומן, שם גר החסיד הנלהב רבי יעקב זיטאמירער שסיכן עצמו ולימד ילדים יהודים תורה במחתרת, אצלו למד ר' בן-ציון עד הבר-מצוה.

לאחר מכן חזרה המשפחה לקרימנצ'וק. בתקופה ההיא שרר רעב כבד, וכל דבר מאכל היה יקר המציאות. באחד הימים הצליח הנער בן-ציון להשיג כיכר לחם עבור משפחתו, אך בדרכו לביתו התנפל עליו נער גוי והחל מושך מידיו את כיכר הלחם. בן-ציון, בהבינו את אשר לפניו, אמר לגוי: "קח את מחצית הכיכר, אבל תן לי משהו תמורתה!" "אתן לך את חולצתי", ענה ה'שייגץ' כשהוא פושט את חולצתו ונותנה לו. אך אחר כך תבע את חולצתו בחזרה, ובן-ציון שב הביתה עם שלל מועט.

כשפרצה מלחמת העולם השניה, הוריד הצבא הרוסי – שנזקק ללוחמים רבים – את גיל הגיוס לשבע-עשרה, גילו של ר' בן-ציון. דודתו שינתה את תאריך לידתו בתעודת הלידה, לשנה מאוחר יותר, אך כעבור שנה איימה עליו שוב סכנת הגיוס. הוא הסתתר במקומות שונים, אך לבסוף נתפס ונלקח לצבא. אמו המסורה שלא יכלה להשלים עם כך, עשתה את הדרך עד למחנה בו שהה, עמדה מחוץ לגדר והתבוננה פנימה, עד שהבחין בה אחד החיילים, שומר המחנה, ושאל אותה לרצונה. "הבן שלי נמצא בפנים", השיבה. "מי הוא בנך?" שאל החייל. למשמע השם "בן ציון קנלסקי" היכה בו זכרונו באחת: זהו הנער שאני חייב לו טובה על מחצית הלחם שנתן לי!

התקיים בו בר' בן-ציון הכתוב: "שלח לחמך על פני המים כי ברוב הימים תמצאנו". בעזרת שומר המחנה הצליח להימלט החוצה, אולם מרגע זה נחשב לעריק, וחייו היו רוויי פחד ואימה. עד שכעבור כמה שנים פגש ביהודי שהיו בידיו תעודות של אזרח פולני. הלה ריחם עליו ונתנם לו, ומרגע זה ואילך הפך בן-ציון ל'ברק קנייבסקי'.

כשנכנסו הגרמנים ימ"ש לקרימנצ'וק, נמלטה משפחת קנלסקי ועברה דרך לא דרך; הם צעדו ביערות וחצו נהרות, עד שהגיעו לטשקנט שבאוזבקיסטן, שם הקים ר' בן-ציון את ביתו עם בת ישראל כשרה, כשכל יהודי המקום משתתפים בשמחת הזוג היהודי הבונה בית נאמן בישראל בימים טרופים אלו.

החוק הקומוניסטי חייב אותו לעבוד – ור' בן-ציון פתח חנות בדים. כדי שיוכל לשמור שבת, שכר פועל אוזבקי שעשה בשבת את המלאכות האסורות, בעוד ר' בן-ציון מעמיד פנים כאילו עובד הוא כבכל יום. בתחבולות שונות ומחוכמות הצליח לא לנגוע בכסף במשך כל השבת. כך, בכל שבוע מחדש, נאבק על שמירת שבת קודש.

בזכות המסמכים הפולניים השאולים, זכו ר' בן-ציון ומשפחתו לקבל אשרות-יציאה מרוסיה. הם שהו תקופה בחרקוב, משם נסעו ברכבות לאוסטריה, ממנה לאיטליה ולקפריסין, עד שהגיעו לארץ-הקודש.

זכה ר' בן-ציון לשיבה טובה ולראות נחת יהודית מצאצאיו. כשנפתחו שערי ברית-המועצות, זכו הוא ואחיו ר' נחמן לנסוע פעמים רבות לציון רבינו הקדוש באומן, להשתתף בקיבוץ הקדוש בראש-השנה ולראות בחדווה בתחייתה הפלאית של חסידות ברסלב אחרי החורבן.

בכ"ז בניסן תשס"ט נפטר ר' בן-ציון לעולמו.