מוצאו מן העיר לודז' שבפולין. רבי אברהם משה קרוסקופ ואחיו רבי אלטר בן ציון – שנודע כלמדן ובקי בש"ס בבלי וירושלמי – התגוררו ברובע 'באלוט' שבעיר, שניהם התקרבו לחסידות ברסלב והפכו לחסידים נלהבים הדבקים בכל נימי נפשם ברבינו הקדוש ובקיום עצותיו.

רבי אלטר בן-ציון נסע לאומן, שם שהה תקופה ניכרת ואף מסר שיעורים ב'קלויז'.

לא ידוע אם גם אחיו ר' אברהם משה היה באומן, אך במכתבו של החסיד רבי אהרן לייב ציגלמן מפרשת ראה תרפ"ה – לאחר סגירת גבול פולין-רוסיה, הוא מספר:

"והנה בעניין נסיעה [לאומן] עינינו הרואות ב"ה כי מאוד נעשה התעוררות בין אנ"ש בשנה זאת יותר מכל השנים.

והנה מאנ"ש שבלאדז' הרבה נכונים לנסיעה, ואף גם כבר באו לווארשא ר' דוד שעראצקי ור' אברהם משה אחיו של ר' אלתר בן-ציון ועוד איזהו בחורים, חוץ מאותם אשר כבר נסעו הלאה וחוץ מכמה אשר מכינים עצמן לנסיעה…

"אני מתקנא מאד בראותי על כל פנים בני גילי זוכים להתעוררות אמיתית, אולי אזכה גם אנכי לאיזה ישועה על ידם…"

ר' אברהם משה קרוסקופ נודע כ'בעל מנגן' נפלא ועובד ה' נלהב.

בהתקרב מלחמת העולם השניה, טרח החסיד ר' דוד שכטר רבות ופעל כדי להעלותו ארצה. ואכן, עלה הדבר בידו, וכך זכה רבי אברהם משה לעלות לארץ הקודש ולהצטרף לאחיו רבי אלטר בן-ציון שעלה מספר שנים קודם לכן והתיישב בירושלים.

בירושלים התגורר ר' אברהם משה קרוסקופ בדירה קטנה בחצר בית הכנסת של הרב מקאליש, בקצה רחוב היהודים.

בהקשר לכך, מספר רבי שמואל הורביץ, בספרו 'ימי שמואל': "חיפשתי עצות כל הזמן איך אזכה לאיזה פינה בשביל התבודדות, ועבר זמן זמנים רק בכיסופים והתבודדות ותפלה על זה, עד שבקיץ העבר התחלתי לדבר עם אחד מאנשי שלומנו, ידידי ר' אברהם משה, באשר שיש לו בית קטן, ובני ביתו הם בפולין, ורוב הזמן היה נוסע בתל-אביב ובהמושבות בשביל שליחות של איזה מוסד, וגם כשהוא בירושלים, רוב היום אינו בביתו, ודיברתי עמו שירשה לי לקחת את ביתו על התבודדות ועבודת ה' – ופעלתי זאת אצלו…

"והנה מאד שמחה נפשי על זה, כי ראיתי בשבילי מעין אתחלתא דגאולה מענין חדר מיוחד על התבודדות ועבודת ה', שמצינו אצל מוהרנ"ת ז"ל, שכאשר זכה לעת זקנתו לחדר מיוחד על התבודדות ועבודת ה', אחר כמה וכמה שנים של השתוקקות וכיסופן וגעגועים לזה, אמר: 'יכול להיות שמעכשיו אהיה איש כשר'".

היה זה ביום שישי כ"ח בכסלו תש"ד, התקיימה שמחת חתונה בירושלים העתיקה, ור' אברהם משה החליט ללכת להשתתף בה. מכריו וביניהם ר' דוד שכטר – שבביתו התארח רבות – ניסו להניאו מללכת. לבסוף יצא ר' אברהם משה לדרכו, ובלכתו, יחד עם עוד יהודים, עבר במקום קומנדקר של הצבא הבריטי, עלה על המדרכה והרגם.

לדאבון לב, גם בני ביתו שבפולין נטבחו על קידוש ה' בשואה. ה' יקום דם עבדיו.

(מפיר' נחמן בורשטיין ז"ל)